INTEGRAL DENGAN SUBTITUSI, INTEGRAL PERSIAL

Integral Dengan Subtitusi, Integral Persial

Intergral substitusi dan parsial merupakan metode yang bisa kamu gunakan dalam menyelesaikan permasalahan integral itu sendiri. Integral substitusi yaitu metode yang digunakan pada persoalan integral dimana pada bagian fungsi adalah turunan dari fungsi yang lainnya. Sedangkan integral parsial digunakan ke dalam persoalan integral yang lebih kompleks. Biasanya, integral parsial akan digunakan ketika rumus atau metode yang tersedia sudah tidak bisa lagi digunakan.

A. Integral Substitusi

1. Integral Substitusi Pada Fungsi Aljabar

Ciri-ciri soal yang bisa diselesaikan dengan rumus integral substitusi ialah memiliki faktor turunan dari faktor lainnya. Sedangkan teknik integral substitusi pada fungsi aljabar yaitu f(x) bisa diubah dalam bentuk k.(g(x))n.gI(x).

perhatikan jika U = g(x) maka 
(x) atau dU= gI(x) .dx
jika, 

Maka integral tersebut bisa diselesaikan dengan memisalkan U= g(x) serta U= gI(x) dx sehingga akan diperoleh persamaan sebagai berikut:

Hal tersebut berlaku dengan n ≠–1.

Namun apabilan n = -1, sehingga akan diperoleh:

 dU = 1n U + C

Contohnya yaitu:

Jika f(x) = (x4+5)3x3, untuk memperoleh integralnya yaitu dengan memisalkan: x4+5 = U serta = 4x3, sehingga x3 dx = 1/4 dU  .

2. Integral Substitusi pada Fungsi Trigonometri

Pada beberapa kasus, trigonometri sebagai integran tidak dapat langsung diintegralkan layaknya rumus integral awal, sehingga diperlukan perubahan integral. Perubahan fungsi trigonometri bisa dilakukan seperti persamaan berikut ini:

  • sin2 A + cos2 A = 1
  • tan2 A + 1 = sec2 A
  • cot2 A + 1 = csc2 A
  • sin A cos A = ½ sin 2A
  • sin2 A = ½ – ½ cos 2A
  • cos2 A = ½ + ½ cos 2A
  • sin A cos B = ½ [sin (A + B) + sin (A – B)]
  • cos A sin B = ½ [sin (A + B) – sin (A – B)]
  • cos A cos B = ½ [cos (A + B) + cos (A – B)]
  • sin A sin B = – ½ [cos (A + B) – cos (A – B)]

Seperti halnya fungsi aljabar, fungsi trigonometri bisa menggunakan rumus substitusi jika integran terdiri atas perkalian fungsi dengan fungsi turunan. Cara pengoperasiannya juga sama dengan fungsi aljabar. Contohnya jika 2x sin(x2 + 1)dx, untuk memperoleh integralnya yaitu dengan pemisalan:

X2 + 1= U serta , maka 2x dx= dU

Atas permisalan tersebut, sehingga persamaan integralnya jadi:

Apabila hasil integral tersebut disubstitusikan dengan permisalan U, maka akan diperoleh:

-cos U + C = -cos(x2+1) + C

Atau apabila fungsi turunannya merupakan fungsi trigonometri langsung, maka contohnya  akan memperoleh integralnya dengan memisalkan:

Cos x = U serta   sehingga sin x dx= -dU.

Dari pemisalan tersebut, sehingga persamaan integralnya yaitu:


B. Integral Parsial

Setelah integral substitusi, kini kita akan membahas integral parsial. Dimana integral parsial digunakan di saat teknik substitusi tidak bisa diterapkan. Adapun konsep dari integral parsial yaitu:

Jika y= U(x).V(x), sehingga U’.(x) + U(x).V’. (x)

Apabila y digantikan UV sehingga

d(UV) = V(x).U’(x)dx + U(x).V’(x)dx

Sebab, diketahui bahwa V’(x)dx = dV serta U’(x)dx = dU sehingga diperoleh persamaan:

d(UV) = v.dU + U.dV

U.dV = d(UV) – V.dU

Dengan kedua ruas persamaan tersebut diintegralkan, maka diperoleh rumus integral parsial:

Dalam menerapkan substitusi parsial, ada beberapa hal yang harus diperhatikan, yaitu pemilihan U serta dV yang tepat supaya pengintegralan membuahkan hasil. (dV) harus yang bisa diintegralkan dengan rumus, kemudian yang lain jadi U.

Dalam integral parsial tidak jarang bisa menurunkan U serta mengintegralkan  dV secara berulang, namun proses bisa diringkas lho. Contohnya pada  yaitu:

Sehingga diperoleh hasil:

 = (x2 . Sin x) – (2x . cos x) + (2.-sin x) + C

= x2 sin x + 2x cos – 2 sin + C

Contoh Soal Integral Substitusi dan Integral Parsial serta Pembahasannya

1. Contoh soal integral substitusi.

Tentukan hasil dari soal integral di bawah ini:

 2x sin 2x dx

Penyelesaian:

Misalnya U = cos 2x serta  = -2 sin 2x, sehingga dU= -2 sin 2x dx

–  sin 2x dx

Sehingga:

disubstitusikan menggunakan nilai U menjadi :

Contoh soal kedua:

Tentukan hasil dari soal di bawah ini!

Penyelesaian:

Nilai x = 3 tan  serta dx= 3sec2  d  serta x2= 9 sec2

Sehingga :

Menggunakan segitiga di atas, maka nilai sec serta tan dapat diketahui. Sehingga:

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

DERET FOURIER

Gambar
Deret Fourier Deret Fourier adalah perluasan fungsi periodik f(x) dalam jumlah sinus dan cosinus yang tak terhingga. Deret Fourier memanfaatkan hubungan ortogonalitas fungsi sinus dan kosinus. Deret Laurent menghasilkan Deret Fourier Hal yang sulit untuk dipahami dan/atau dimotivasi adalah kenyataan bahwa fungsi periodik sembarang memiliki representasi deret Fourier. Pada bagian ini, kami membuktikan bahwa fungsi analitik periodik memiliki representasi seperti itu menggunakan ekspansi Laurent. Catatan : Untuk mencari deret Fourier, cukup menghitung integral yang menghasilkan koefisien a  0  , a  n  , dan b  n  dan memasukkannya ke dalam rumus deret besar. Biasanya, f(x) akan terdefinisi sedikit demi sedikit. Keuntungan besar deret Fourier dibandingkan deret Taylor: fungsi f(x) dapat mempunyai diskontinuitas. Rumus Deret Fourier Rumus deret fourier fungsi f(x) pada interval [-L, L], yaitu -L ≤ x ≤ L diberikan oleh: Contoh : Tentukan deret Fourier dari fungsi...
Baca selengkapnya

PENGINTEGRALAN FUNGSI RASIONAL

Gambar
Pengintegralan Fungsi Rasional Mengintegralkan fungsi rasional merupakan salah satu keterampilan penting dalam kalkulus. Fungsi rasional adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai rasio (pecahan) dari dua polinomial. Dalam panduan ini, kita akan membahas teknik-teknik utama yang digunakan untuk mengintegralkan fungsi rasional. 1. Decomposisi Pecahan Parsial Decomposisi pecahan parsial adalah metode yang digunakan untuk memecah fungsi rasional menjadi jumlah pecahan yang lebih sederhana yang lebih mudah diintegralkan. 2. Pengintegralan Fungsi Sederhana Setelah fungsi rasional dipecah menjadi pecahan parsial, langkah selanjutnya adalah mengintegralkan masing-masing pecahan parsial tersebut 3. Teknik Lanjutan Selain dekomposisi pecahan parsial, ada beberapa teknik lanjutan yang dapat digunakan untuk mengintegralkan fungsi rasiona Contoh Faktor penyebut Tulis pecahan persial Sehingga, A + B = 2 2 𝐴 − 3 𝐵 = 1 2 A − 3 B = 1 Di peroleh,
Baca selengkapnya

SISTEM KOORDINAT POLAR

Gambar
  Koordinat polar adalah cara penentuan posisi titik  P  dalam variabel  r  dan  θ  dalam pasangan (  r ,  θ  ). Karena ada beberapa analisis geometri yang lebih mudah jika dilakukan dalam koordinat polar ketimbang koordinat kartesius. Berikut contoh notasi titik dan posisinya dalam koordinat polar. Persamaan Polar Untuk menggambarkan kurva persamaan polar dalam kordinat, maka dapat dialakukan dalam 2 langkah penting, yaitu membuat tabel untuk mengetahui titik koordinat, kemudian menggambarkannya di dalam koordinat polar. Berikut 2 contoh persamaan polar dan langkah menggambarnya. Transformasi Koordinat contoh 1 : ubah dari koordinat titik  P  dari polar ke kartesius dan sebaliknya contoh : 2 tunjukkan bahwa persamaan-persamaan ini adalah lingkaran dan parabola Solusi : Gambar lain yang juga bisa digambar di koordinat polar adalah garis, lingkaran dan konik Contoh 5 :
Baca selengkapnya