PENGINTEGRALAN FUNGSI RASIONAL DARI SINUS DAN COSINUS

  Pengintegralan Fungsi Rasional Dari Sinus Dan Cosinus

   ò sin ⁿ x dx, ò cos ⁿ x dx

Jika n bilangan bulat positif ganjil, maka keluarkan faktor sin x atau cos x dan kemudian gunakan kesamaan

Sin ² x + cos ² x = 1.

Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut

Contoh :

1.     ò sin ⁵ x dx           = ò sin ⁴ x sin x dx

= - ò (1 - cos ² x)² d(cos x)

= - ò (1 - 2 cos ² x + cos ⁴ x) d(cos x)

= - cos x + 2/3 cos ³ x - 1/5 cos ⁵ x + c

           

                                            

           

   ò   sin ^m x cos ⁿ x dx

        Jika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang, maka keluarkan faktor sin x atau cos x yang berpangkat ganjil tersebut kemudian gunakan kesamaan sin ² x + cos ² x = 1

Jika m dan n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah  sudut.

 

   ò tg ⁿ x dx, ò cotg ⁿ x dx.

Keluarkan faktor tg ² x = sec ² x – 1 dalam kasus tg atau faktor cotg ² x = cosec ² x – 1 dalam kasus cotg.

Contoh :

ò cotg ⁴ x dx    = ò cotg ² x (cosec ² x – 1) dx

= ò cotg ² x cosec ² x dx – ò cotg ² x dx

= - ò cotg ² x d(cotg x) - ò (cosec ² x – 1) dx

= - 1 cotg ³ x + cotg x + x + c

3

2.a.      ò tg ^m x sec ⁿ x dx, ò cotg ^m x cosec ⁿ x dx

Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec ² x atau cosec

² x.

Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor tg x.sec x.

2.b.    ò sin mx cos nx dx, ò sin mx sin nx dx,

ò cos mx cos nx dx. Gunakan kesamaan :

sin mx cos nx = ½[sin (m+n)x + sin (m – n)x] sin mx sin nx = -½[cos (m+n)x - cos (m – n)x] cos mx cos nx = ½[cos (m+n)x + cos (m – n)x]

Contoh :

ò sin 2x cos 3x dx    = 1/2 ò sin 5x + sin (-x) dx

= 1/10 ò sin 5x d(5x) – ½ ò sin x dx

= - 1/10 cos 5x + ½ cos x + c.