TURUNAN PERSIAL

  Turunan Parsial

Kita sering mendengar turunan parsial dalam pelajaran matematika tingkat lanjut. Apa arti sederhana dari turunan parsial. Untuk lebih mudah mengerti, kita bahas dari kata ‘parsial’ terlebih dahulu. Parsial secara umum berasal dari kata part dalam bahasa Inggris yang artinya bagian.

Jadi, turunan parsial adalah sebuah perubahan nilai dari suatu fungsi yang mempunyai 2 variabel atau lebih secara sebagian atau tidak seluruhnya dan diturunkan satu-satu. Jika pada fungsi z = f(x,y) kita turunkan terhadap variabel x maka y akan dianggap sebagai konstanta dan bisa disebut kita mencari turunan parsial z terhadap x.

1. Fungsi dua peubah atau lebih
Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau
implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka penulisannya secara umum dinyatakan dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk implisit, maka penulisannya dinyatakan dalam bentuk F(x,y,z) = 0.
Contoh:

Pada contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah
pada contoh 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang
ditulis dalam bentuk implisit.

2. Turunan Parsial Fungsi Dua atau lebih
Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena
x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:
1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.
2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah
3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.

Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat
ditentukan turunan parsial ke n, untuk n≥2 turunan parsialnya dinamakan
turunan parsial tingkat tinggi.
Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan
parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.
Jadi andaikan z = F(x,y) maka:

Demikian seterusnya. Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m^n, dimana m banyaknya variabel dan n menunjukkan turunan ke-n
Contoh

3. Differensial Total
Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka diperoleh turunan parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan

4 Turunan Total
Misal z = F(x,y) dan F dapat diturunkan (differensiable), dan misalkan
x = x(t) dan y = y(t), x dan y juga fungsi-fungsi yang dapat diturunkan dengan
satu peubah, Maka z = F(x,y) adalah fungsi satu peubah, sehingga:

Contoh
Suatu tempat berbentuk silinder (tabung) dengan jari-jari alasnya 15 cm dan
tingginya 20 cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5 cm/det dan
jari-jarinya berkurang 1 cm/det. Hitunglah perubahan yang terjadi terhadap
volume dan luas permukaan silinder.